$_GET['artiste_id'] = $artiste_id; 

normalement c'est l'inverse qu'on fait, pour utiliser la variable locale par la suite. Toi tu écrases ton $_GET avec... rien, et tu la réutilises dans la requête
Donc si tu suis les conseils du sujet cité plus haut, et que tu affiches le SQL généré, je pense qu'il n'y a rien dans ta requête, et donc qu'elle ne renvoie rien.

<?php
 $requete = mysql_query ("SELECT * FROM artiste_dico ORDER BY artiste_nom");
 
 $n = mysql_num_rows($requete); // compte le nbre d'enregistrement 
 $compteur = 0; 
 $valeur = $n/3; // divise le nbre d'enregistrement par 3 
 $valeur = ceil($valeur); // arrondi 
 echo '<table width="630"><tr valign="top"><td width="203" class="menuTitreNG">' ;

while
 ($resultat = mysql_fetch_array($requete)) {

if ($compteur == $valeur) { echo '</td><td width="10"></td><td width="204" class="menuTitreNG">'; // tu changes de colonne 
$compteur = 0; // tu remet le compteur a zéro 
} 

$artiste = $resultat[artiste_prenom]. " " .$resultat[artiste_nom];
$artiste_id = $resultat[dico_id];

echo '<a href="maj_artiste_modif.php?id='.$artiste_id.'">'. $artiste .'</a>' ; 
echo '<br>'; 

$compteur++; // ajoute 1 au compteur a chaque passage 
} 

echo '</td></tr></table>'; 
?>

<?php
     require ("include/connect.php");
	 
	 $_GET['artiste_id'] = $artiste_id;
	 
	 $requete = mysql_query ("SELECT artiste_prenom, artiste_nom FROM artiste_dico WHERE dico_id = '".$_GET['artiste_id']."'") or die('Erreur : ' . mysql_error());

	 $modif = mysql_fetch_array($requete);
	  echo'<form method="post" action="maj_artiste.php">
        <span class="txt10grasBleu">pr&eacute;nom</span> 
        <input type="text" name="artiste_prenom" value="'.$modif[artiste_prenom].'" size="30">
        <br>
        <span class="txt10grasBleu">nom</span> 
        <input type="text" name="artiste_nom" value="'.$modif[artiste_nom].'" size="30">
        <br>
        <input type="submit" name="modif" value="OK">
      </form>';?>

$sql="select * from catégorie"; 
$requête = mysql_query ($sql);

echo "<form name='form1' method=post action='page2.php'>
         Catégories <select name='cat_nom' onChange=form1.submit()>
         <option></option>";

while ($cat = mysql_fetch_array($requête)) {
   $cat_nom = $cat["cat_nom"];
   $cat_description = $cat["cat_description "];
  echo "<option value = '$cat_nom'> $cat_description </option>";
}

echo "</select>
         </form>";

$cat_nom = isset($_POST["cat_nom"]) ? $_POST["cat_nom"] : null;
if ($cat_nom != null) {
    $sql ="select * from HOWTO where cat_nom = '$cat_nom' ";
    ....
    //Exécuter la requête, traiter le résultat et afficher les données
}

echo "<a href=\"howto.php?idCat=".$idCat."\">".$nomCat."</a>";