Très simple, pour le moment tu fais ça :

$contenu = file_get_contents($fichier_distant);

Au lieu de ça tu vas faire :

// Le temps d'expiration du cache (en seconde, 3600 = 1h)
$expire = 3600; 
// Le dossier contenant les fichiers mis en cache
$dossier_cache = 'cache'; 
// Un nom unique attribué au fichier distant pour sa mise en cache
$fichier_cache = $dossier_cache.'/'.md5($fichier_distant); 
// On met le cache à jour s'il a expiré (ou s'il n'existe pas)
$mettre_a_jour = !is_file($fichier_cache) || time()-filemtime($fichier_cache)>$expire;
if ($mettre_a_jour) {
    // on récupère le contenu distant
    $contenu = file_get_contents($fichier_distant);
    // on crée le fichier de cache
    if ($fp = @fopen($fichier_cache, 'w')) {
        fputs($fp, $contenu);
        fclose($fp);
    }
}
else {
    // on récupère le contenu mis en cache
    $contenu = file_get_contents($fichier_cache);
}

C'est l'algo "de base" de mise en cache, très simple à mettre en oeuvre et à généraliser (pour en faire une fonction par exemple).

$contenu = file_get_contents($fichier_distant);

// Le temps d'expiration du cache (en seconde, 3600 = 1h)
$expire = 3600; 
// Le dossier contenant les fichiers mis en cache
$dossier_cache = 'cache'; 
// Un nom unique attribué au fichier distant pour sa mise en cache
$fichier_cache = $dossier_cache.'/'.md5($fichier_distant); 
// On met le cache à jour s'il a expiré (ou s'il n'existe pas)
$mettre_a_jour = !is_file($fichier_cache) || time()-filemtime($fichier_cache)>$expire;
if ($mettre_a_jour) {
    // on récupère le contenu distant
    $contenu = file_get_contents($fichier_distant);
    // on crée le fichier de cache
    if ($fp = @fopen($fichier_cache, 'w')) {
        fputs($fp, $contenu);
        fclose($fp);
    }
}
else {
    // on récupère le contenu mis en cache
    $contenu = file_get_contents($fichier_cache);
}