Oui une class css est tout à fait indiquée. Tu peux par exemple mettre ton message dans un p ou un span sur lequel tu vas mettre une class msg-success ou msg-error selon le cas et sur laquelle tu vas définir les styles que tu veux. Tu peux faire ça comme un cochon aussi avec un attribut style, tout dépend si tu penses réutiliser la class ou non et si t'as envi de faire au plus propre ou non.

Initialiser une variable $hasError à false. S'il y a une erreur, en plus de l'afficher tu passes $hasError à true et tu n'affiches le dernier echo que s'il n'y a pas d'erreur. if (!$hasError)

<?php
session_start();

if (isset($_POST["submit"])) {
  // validation du formulaire
  $errors = [];

  if (empty($_POST["Nom"]) or empty($_POST["Prenom"]) or empty($_POST["email"]) or empty($_POST["passeword"]) or empty($_POST["repeatpasseword"]))
    $errors[] = "Veuillez remplir tous les champs !";

  if (strlen($_POST["passeword"])<=6)
    $errors[] = "Le mot-de-passe est trop court !";

  if ((isset($_POST["passeword"]))!==(isset($_POST["repeatpasseword"])))
    $errors[] = "Les mots-de-passe ne sont pas identiques !";

  // si pas d'erreur
  if (!count($errors)) {
    // enregistre l'utilisateur (probablement un insert en base de données)
    // ...

    // connecte l'utilisateur
    // $_SESSION['user_id'] = $user->id;

    // redirige l'utilisateur vers la page d'accueil de l'utilisateur connecté
    // le header permet d'éviter la réinscription de l'utilisateur s'il décide de rafraichir la page
    header('Location: /mon-compte/accueil.html');
    exit();
  }
}
?>
<div id="formulaireid">

  <?php if (isset($errors) && count($errors)): ?>
    <ul>
    <?php foreach ($errors as $error): ?>
      <li><?php echo $error; ?></li>
    <?php endforeach; ?>
    </ul>
  <?php endif; ?>

  <form method="post" action="identification.php">
    <p>Nom</p>
    <input type="text" name="Nom" value="<?php echo $_POST['Nom'] ?? ''; ?>"/>
    <p>Prenom</p>
    <input type="text" name="Prenom" value="<?php echo $_POST['Prenom'] ?? ''; ?>"/>
    <p>email</p>
    <input type="email" name="email" value="<?php echo $_POST['email'] ?? ''; ?>"/>
    <p>Passeword</p>
    <input type="passeword" name="passeword">
    <p>Répetez votre mot-de-passe</p>
    <input type="passeword" name="repeatpasseword"><br><br>
    <input type="submit" name="submit" value="Valider">
  </form>

</div>

Ton else est le else du if ((isset($_POST["passeword"]))!==(isset($_POST["repeatpasseword"]))) { donc si les passwords sont identiques tu auras toujours le echo Connecté(e) !