salut,
l'extension, comme pour la plus part des extensions de fichier n'ont qu'un but utilitaire.
par exemple un fichier texte, qu'il ai une extension txt ou pas il sera lisible, la seule différence c'est que par défaut ton os ne sais quel programmes utiliser pour le lire
Donc un fichier de log c'est un fichier de texte (il existe des logs dans des bases de données mais peux courant et généralement non autorisé par les hébergeur mutualisé

).
Un fichier de log c'est du texte, une info par ligne permettant de suivre l’exécution d'un programme ou d'un script.
basiquement c'est écrire dans un fichier texte.
dans ton cas tu peux simplement faire
<?php
file_put_contents('lefichier.log','tentative de connexion. pseudo : '.$pseudo.' resultat : ok / ko',FILE_APPEND);
?>
tu peux aussi voir du coté de
log4php qui est un système de log complet dérivé de log4j.
@+